ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 10. 717 



och af samma formler erhålles genom division 



Om vi na i formlerna (158), (156), (159) sätta 



h 



v = — , 

 P 



och om vi sedan använda de sålunda erhållna likheterna i ord- 

 ning på de tre formlerna i teorem XXIV, sedan vi i dessa ersatt 

 r med q, så erhålla vi följande teorem. 



Teorem XXY. Om p är ett positivt udda primtal, och q 

 «tt positivt udda tal hvilket som hälst, så är 



lq\ (i'-iH^-i) '^_^'^"^ . i2k 2h\ . I2k 2h\ 



1=2 2 n n sin — + — TT-sin \n , 



\pl k = i i- = i \g pl \q Pl 



\-] = 2 2 Yl Yl sm - + - TT -sin TT 



\PI A = i A = i \g pl \q pl 



p-l ,^ q — l 



9\- ri ri .g(i + iL.tg(^-^'W. 



och 



iF/ h=i k=i \q Pl \q Pl 



Medelst hvilken som hälst af dessa tre formler kan recipro- 

 oitetssatsen för den LEGENDRE'ska symbolen bevisas. Om vi 

 antaga, att både p och q äro positiva udda primtal, så är enligt 

 den sista formeln 



q\ T-f TT+/^ ''^l +/^ ^ 



(160) P = n n tg[- + ~]n-tg(---\n. 

 \pI k=i i = i \^ pl ^\q Pl 



Om vi i denna formel permutera p och q^ så erhålles 



h = ^~^ k = ^^~^ 



(161) (£)= n n tg/i + *),.tg(*-a., 



ql A = i A=i \p ql \p q] 



hvaraf följer, om vi skrifva h i stället för k och k i stället för A, 



