718 BERGER, EN ALGEBRAISK GENERALISATION ETC. 





<-) (f)=n; Ji<^¥<-^ 



och således 



,=^^-^-1 



och af eqv. (160) och (163) följer 



\ p — \ q — 1 ( 



(164) (^y) = (-l) ,p 



I de tre föregående teoremen ha vi erhållit uttryck för den 

 LEGENDRE'ska syiiibolen medelst funktionerna sin x och tg.?;. 

 Vi skola nu ur dessa uttryck härleda rent aritmetiska uttryck 

 för denna symbol, och vi använda för den skull den numeriska 

 funktionen E{ai), som definieras på följande sätt. Om x är en 

 reel qvantitet, så betyder E{x) det hela tal, som är närmast 

 lägre än eller lika med x, så att alltid 



(365) 0^x — E{x)<l. 



Om X icke är ett helt tal, så följer af denna definition, att 



(166) sin 71 x = P{— 1)^(^> , 



der P betyder en positiv qvantitet. Om r är ett helt tal, så. 

 är enligt den första formeln i teorem XXIV 



h = P^ . 2hrn 



\ 2 sin 



(167) ['-]= n 



p 

 Antaga vi nu, att r ej är delbart med p, samt använda, 

 eqv. (166) på högra membrura af eqv. (167), så erhålles 



(168) (^)= rf P,{-lf^^). 



der Pj är en positiv qvantitet. Emedan I -I ej kan ha andra, 

 värden än + 1 och — 1, så följer häraf 



