726 PHRAGMÉN, ÜBER DIE BERECHNUNG EINIGER TRANSCENDENTEN. 



Unter denjenigen Werthen von x^ welche grösser als x^ sind, 

 .^iebt es also einen, und nur einen, für welchen die Funktion \n\ 

 verschwindet. Bezeichnen wie diesen Werth mit a''„, so ist also 



und 



[n] > 0, sobald x > x' n ■ 



Für X = x'n ist 



[« + 1] =—y, 



d. h. negativ, und man hat also 



Für X = x'n+i hat also die Function \ji] ein Maximum und 

 nimmt von diesem Werthe an beständig ab. Es liegen: x\ zwi- 

 schen 3 und 4, x'2 zwischen 4 und 5, x'^ zwischen 5 und 6, x\ 

 -Zwischen 7 und 8, x'^ zwischen 8 und 9, x'^ zwischen 9 und 10, 

 11. s. w. 



Für unseren Zweck können wie dieses Resultat in dem fol- 

 genden Satze zusammenfassen: 



Ist für einen geivissen We7'th von x 



yn+\ positiv, 



xyn+\ — (« + l)j/ra auch positiv, 



xy„ < fJ, 



^0 bleibt die letzte Ungleichung auch für alle grössere Werthe 

 V071 X gültig. 



Denn man schliesst aus der ersten Annahme, dass ir>.2:„+i, 

 •und aus der zweiten dass auch .:p>.c'„+i. Es ist also 



^ i'^yv) =-- — {\n + 1] + w?/„) 



.sicher negativ für alle grössere Werthe von x. 



Von dem betrachteten Werthe von x an stellt also der 



Ausdruck 



1 1 I ^ In — 1 



<3) _++=+...+ z=^ 



