746 -PHRAGMÉN, SUR LE PRINCIPE DE DIRICHLET. 



facile de trouver une demonstration valable dans des cas tres 

 étendus, en combinant les raéthodes de M.M. Schwarz et C. 

 Neumann avec la transformation par rayons réciproques, comrae 

 cela a été proposé entré autres par M. Klein dans ses legons. ^) 

 Enfin M. PoiNCARÉ a repris la question dans son travail im- 

 portant su7^ les équations aux dérivées partielies de la physique 

 mathématique inséré au t. 12 du journal americain de mathéma- 

 tiques, et Ta traité par une nouvelle raéthode dont il dit lui- 

 méme qu'elle ne laisse rien å désirer comrae méthode de demon- 

 stration. Aussi est-il parvenu a démontrer tres simplement le 

 principe de DiRiCHLET sous des conditions tellement générales 

 qu'il peut paraitre inutile pour les applications de demander plus 

 encore. Toutefois, il me semble que cette demonstration de M. 

 PoiNCARÉ est encore susceptible de quelques simplifications qui 

 permettent a Tétendre a des domaines encore plus généraux, en 

 raéme teraps qu'elles la mettent ä la portée de tout le monde. 



La partie principale de la demonstration que je vais ex- 

 poser ci-dessous est, au fond, identique å la demonstration de 

 Harnack pour l'existence de la fonction de Green. L'artifice 

 tres simple qui permet d'etendre cette demonstration au cas 

 general, est emprunté au memoire cité de M. PoiNCARÉ. 



Le principe de DiRlCHLET peut étre énoncé dans ces terraes: 

 Soit donnée Véquation aux dérivées partielles 



-^+— ^ +... + -^=0; 

 dx^ dx^ dxn 



il existera toujours une Solution de cette équation qui est regu- 

 liere ä Vintérieur d^un domaine donné et qui tend uniforme- 

 merit vers des valeurs données continues quand on s'approche de 

 la limite du domaine. 



Pour simplifier le language, nous ne traiterons ici que le 

 cas de « = 2. Du reste il est facile de voir comment la de- 

 monstration peut étre étendue au cas general. 



') Cfr Pockels, Über die pnrtielle Differentialgleichung /^u + k'^u = O etc, 

 Leipzig 1891, pag. 262. 



