ÖPVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 10. 747 



Nous désignerons par aS une aire plane donnée teile que les 

 points å l'exterieur de S förment un nombre fini de pieces con- 

 tinues, et que tout point a la liraite de /S ait dans son voisinage 

 immédiat d'autres points qui sont extérieurs a S. Nous précisons 

 encore, en exigeant qu'il existe un triangle rectiligne qui puisse 

 étre appliqué a chaque point a la limits de »S de maniére qu'un 

 sommet du triangle coincide avec ce point et que tout le reste 

 du triangle seit extérieur ä aS. Nous désignerons de plus par s 

 l'enseinble des contours qui limitent cette aire plane, et par u 

 des valeurs données sur s et continues sur chaque contour special. 



Nous nous proposons de démontrer qu'il existe une fonction 

 U{sc,y) qui est harmonique å Tintérieur de *S, et qui tend uni- 

 formément vers les valeurs données u quand on s'approche de s. 



Nous diviserons la demonstration en trois parties. En pre- 

 mier lieu nous montrerons comment on peut trouver une fonc- 

 tion V reguliere dans un domaine qui renferme l'aire aS, et dont 

 les valeurs sur s différent des valeurs données u de moins d'une 

 quantité donnée. Puis nous donnerons l'expression d'une fonction 

 harmonique a Tintérieur de S et qui devient égale å V sur s. 

 Enfin on formera la fonction qui donne la Solution du probléme 

 proposé. 



Qu'il existe une fonction V teile que nous venons de la ca- 

 ractériser, cela paraitra presque evident a la plupart des lec- 

 teurs. Toutefois je pense devoir en donner une demonstration 

 precise. Prenons arbitrairement une droite ä" = ^^ = const. qui 

 traverse l'aire S, ou plutöt le plan correspondant x =^ x^ dans 

 un espace ä trois dimensions ou nous désignerons la troisiéme 

 coordonnée par z, de maniére que = O sera Téquation du plan 

 dans lequel est situé l'aire S. Pour chaque valeur de _?/, y^=y ^ 

 on pourra trouver une infinite de droites contenues dans le plan 

 y = ?/ et qui, de Tun et de l'autre coté du plan x = .^Jq, passent 

 entré les deux courbes z ^= u — d et z ^ u + å. Si nous écri- 

 vons réquation de ces droites 



^ = fp{y) {^ — ^'0) + v^iy), y = y^ 



