748 PHRAGMÉN, SUR LE PRINCIPE DE DIRICHLET. 



cette condition sera remplie si nous assujettissons les fonctions 

 cp{]j) et ip{]j) chacune å deux inégalités 



9{y)<fp{y)<9x{y)^ 



dont il est inutile d'insister sur la signification, qui ressort im- 

 médiatement å l'inspectiou d'une figure. 



Il est evident qu'on peut trouver deux fonctions 'ip{y) et 

 (f{y) régulieres pour les valeurs de y dont il est question et 

 satisfaisant ä ces inégalités. On pourra méme, si on veut, pren- 

 dre pour iii{y) et (f{y) deux fonctions rationnelles et entiéres. 

 Cela pose, la fonction 



z^q>{.y){^ — Xo) + '^{y) 



est une fonction qui satisfait aux conditions que nous avons im- 

 posées a la fonction V. 



Comnie 



est une fonction reguliere dans un domaine qui contient l'aire ä, 

 il est clair qu'on pourra écrire 



V =W' — W" 



et faire de nianiére qu'on ait 



Q1W d'^W ^ . , . d^W" d^W" ^ 



-^TT + -ö-^ < O aussi hien que —^ir- + -^tt < ^ 

 dx^ dy- ox^ öy- 



partout dans l'aire S. 



Or, on sait qu'une fonction U> , teile que 



dx^ dy'^ 



dans l'aire *S, ne peut avoir de minimum a Tintérieur de S. 



Construisons par la pensée une suite infinie d'aires de poly- 

 gones Sni telles que Sn+i renferme toujours Sn a son intérieur, 



