ÖFVERSIGT AF K. VETEN SK. -AK AD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 10. 749 



et que chacune d'elles est contenue a Tiiitérieur de S. Soit s„ 

 le polygone formant le contour de l'aire S„, et supposons que Sn 

 tombe toiit entiere dans le voisinage d^, de s et que lim ^„ = O 

 pour w = cx> . 



Soit U'n une fonction harmonique en aS„ et égale å W sur 

 3„; la fonction 



0n= W'— U\ 



tendra vers zéro quand on s'approche de ,s„ et on aura 



r-(Z)„ r-0„ d^W d'^W ^. 

 dw'^ dij- dx- dy^ 



å rintérieur de *S„. Par conséquent, ©„ n'ayant pas de minimum 

 a rintérieur de ä„ et s'annulant sur le contour, cette fonction 

 sera positive ä Tintérieur de aS„. Donc, sur s„, (Dn est nul et 

 (/>„+! est positif. Comme (X>„ — (Z>„+i est harmonique en /S„, on 

 en conclut qu'on a 



<JÖ„ + i > On OU t/'„+i < Un 



dans »S„. 



Appliquant le principe de Harnack, on en conclut que 



U = lim U'n (n = oo) 



est une fonction harmonique a Tintérieur de S. De mérae 



= lim 0n = W' — U 



. _ , „, . d^d) d-o d^W d'^W 

 satisfait a 1 equation -^-r- H — 7\ — = -^r-— + ^ •> et par conse- 

 ^ ox^ dy ox- öy^ 



quent a Tinégalité 



dx^ dy^ 



å rintérieur de 5. Elle n'a donc pas de minimum dans cette aire. 



Comme on a <i) > Ö>„ pour toute valeur de n et que (Z>„ 

 soit positif å rintérieur de S„, (D est nécessairement positif dans 

 tout point a Tintérieur de S. 



De Tautre coté, si n est une constante positive, la courbe 



O = a 



