750 PHRAGMÉN, SUR LE PRINCIPE DE DIRICHLET. 



est située tout entiere å l'interieur de S. Car, supposons que la 

 limite inférieure ß de la distance d'un point de s a un point de 

 la courbe = a soit nulle, il existera un point p de s tel que 

 dans tout voisinage de ce point il y ait des points de la courbe 

 (D = a. Or on peut construire un polygone o qui passe par ce 

 point p, qui est situé tout entier a l'interieur du domaine dans 

 lequel la fonction V est reguliere, et dont aucune partie n'ap- 

 partient a l'interieur de S. Soit 2 l'aire limité par ce poly- 

 gone, aS sera une partie de 2. On sait construire une fonction 

 W qui est nulle sur a et qui satisfait å Téquation 



ßiip Q2lfS Q2W' d'^W 



1 =n 1 



dx^ dip- dx"- dip- 



å l'interieur de ^. On aura 



^ > Ö>« 



a l'interieur de *S, pour toutes les valeurs de /i, et par con- 

 séquent 



^> Ö>. 



Or la fonction W tend uniformément vers zéro quand on s'ap- 

 proche de a. On peut méme, coinrae on le voit facilement, in- 

 diquer un voisinage de jo dont le rayon est indépendant de la 

 situation particuliére de ce point sur s, et dans lequel ¥*", et par 

 conséquent Ö>, reste plus petit que a. Donc il est démontré 

 que /S, la limite inférieure des distances entré deux points dont 

 Tun appartient ä s et l'autre å la courbe ® = «, est différent 

 de zéro. Or c'est dire que pour toute valeur positive a on 

 peut trouver une autre valeur positive ß teile qu'au voisinage ß 

 de s on a 



Donc (P tend uniformément vers zéro, et par conséquent Ü' 

 vers W quand on s'approche de s. 



De méme il existe une fonction Ü" harmonique en *S et ten- 

 dant uniformément vers W" quand on s'approclie de s. 



