22 BJÖRLING, KONSTRUKTION DER CURVEN VIERTER ORDNUNG. 



(A) Gegeben sind 7 feste Punkte (die Gruppe 6^), 5 andere 

 a, b, c, d, e, und 5 Strahlen Ol, Om^ On, Oj:», Oq; man soll 

 zwei Punkte x, x so bestimmen, dass 



[ö, X, x''] (a, h, c, d, e) 7\ [0] (/, ??i, n,p, q). 



Diesen zwei Bedingungen müssen unter den oo- Punkten der 

 Ebene eine endliche Anzahl Punktpaare x^ x genügen. 



Dieses Problem hängt vom folgenden ab: 



(B) Gegeben sei die Gruppe G von 7 Punkten, 4 andere 

 a, b, c, d, und 4 Strahlen Ol, Om, On, Op; welcher ist der Ort 

 zwei solcher Punkte x, x\ dass 



\G, X , x'] (a,b, c,d)'/\ [0] (/ , m ,n,p)'^ 



Wir stellen zuerst folgende Betrachtung an. G, u, u' seien 

 die Basispunkte eines C^-Büschels; G, t\ v' diejenigen eines an- 

 deren; drei Punkte a, b, c sind gegeben um das projektivische 

 Entsprechen festzustellen. Der Ort der beiden Schnittpunkte 

 entsprechender Individe der beiden Büschel ist, nach den Sätzen 

 i) und 2), eine C^, die durch a, b, c, u, r und ihre konjugirte 

 a', b', c\ u', v einfach geht, und in G sieben Doppelpunkte hat. 



d, d seien ferner zwei konjugirte Punkte auf derselben C^ 

 Schnittpunkte entsprechender C^-Individe. Da ist also 



[ö, u, m'] (a, 6, c, d) 7\ [(r, V, u] (a, 6, c, d), 



und dasselbe findet statt, in welchen Punkten von C^ man die 

 M, u auch verlegen mag. Diese Curve ist also der in (B) ge- 

 suchte Ort; sie ist bestimmt von l:o) der Gruppe 6r (3 . 7 = 21 

 Bedingungen), 2:o) den 4 Punkten a, b, c, d (und ihren konju- 

 girten), 3:o) dem anharmonischen Verhältnisse [0] (/, ??^, ?/,p), 

 es sei k. 



Mittelst des letzten lässt sich die Tangente der C^ in jedem 

 der Punkte a, b., c, d bestimmen. Das anharmonische Yerhält- 

 niss zwischen 4 6''^-Individen 



[G,x,x^(a,b,c,d) 



