128 BERGER, OM KONGRUENSER AF ANDRA GRADEN. 



ett helt positivt tal. Sådana tal D, som uppfylla dessa vilkor, 

 kalla vi i det följande diskriminanter eller diskriminanttal. 

 Kongruensen (4) är ett specielt fall af kongruensen 



(6) x'^ D , mod. s, 



der s är ett helt positivt tal hvilket som hälst. Vi beteckna med 



antalet af kongruensens (6) rötter, och funktionen ij-'{D , s) har 

 då följande egenskap: 



(7) }/;(i), SjSoSs • • •) = V^(A h) • V<^' «2) • </^(^' S3) • • •' 

 om Sj, 82,8^,... äro relativa primtal. 



§ 1- 

 Med användning af eqv. (7) skola vi härleda ett uttryck 

 för funktionen xp^D, 4n) under antagande, att D och n äro re- 

 lativa primtal. Vi sätta för den skull n under formen 



(8) n = 2»^..p>, 



der jOj, 2h->---Pu '^^'^ ^® positiva udda primtal, som gå upp i 

 n, och i hvilken formel alltså 



(9) v,>0, v,>l, v,^l,...v^^l. 

 Om vi använda eqv. (7), så erhålla vi 



( 10) T/<(i>, 4n) = ip{D, 2'"-^^p;' . . .p V) = i^>(D, 2"°-^ '')Uy^{D,p;''). 



Emedan D satisfierar någon af kongruenserna (5), så gälla 

 följande formler i). 



(11) xp(D, 1) = 1, ip(n, 2) = 1, ip{jj, 4) - 2 för hvarje D, 



(12) j//(i>, 2'+') = 2J1 + |:^ji om v >l och J9=l, mod. 4, 



(13) ip(D,p^') = 1 + I "K o™ ^> 1, p udda primtal, och D ej 



= O, mod. p. 



') Se Vorlesungen über Zahleiitheorie von P. G. Lejeune-Dirichlet, Dritte 

 Auflage, pag. 81 — 85. 



