132 BERGER, OM KONGRUENSER AF ANDRA GRADEN. 



(33) v^^O, v^-^l, v,_>l,...Vf,>l, 

 och vi erhålla då 



(34) ip(J, 4n) = yj(J, 2""^ -)nV(^' P?) • 



Emedan eqv. (11) gälla för hvarje diskriminant, så är 



(35) ip{J, 1) = 1 , ip(J, 2) = 1 , ip(J, 4) = 2 för hvarje J; 

 vidare är för hvarje J 



(36) ^(^,8) = 2|l + (^)|, 



ty enligt eqv. (12) gäller denna formel för //=1, mod. 4; och 

 om J~0, mod. 4, så finna vi lätt, att kongruensen 



cV- = //, mod. 8 



har två rötter, hvarföre eqv. (36) gäller äfven då. 

 För v>2 är 



. «. . X 2^1 + l^lL om J=l, mod. 4, 



(37) yj(J,2^'^^)=>^ 1 \2/)' 



[O, om J=0, mod. 4, 



ty den första af dessa formler erhålles af eqv. (12); och om 

 z/=0, mod. 4, så måste enligt eqv. (30) och (31) z/ vara af 

 någon af formerna 



^=12, mod. 16; J=8, mod. 16, 

 och i båda fallen är tydligen för v^2 kongruensen 



x- = J, mod. 2"+2 

 omöjlig, hvarmed den andra af formlerna (37) är bevisad. Vi 

 kunna nu förena eqv. (36) och (37) i en enda formel: 



(38) ^(^'2''"') = H(2^^)'"(^^)}' 

 hvilken gäller för hvarje J och för r^ 1. 



Om p är ett positivt udda primtal, så har kongruensen 

 .^2 = J, mod. p 

 två rötter, en rot eller ingen rot, allteftersom 



\'p)~ ' \p]~ ' \p]~ 



