134 BERGER, OM KONGRUENSER AF ANDRA GRADEN. 



(44) ^(./, 4,0 = 2J(^^.) + (^»)j nj(^4.) - (|)! • 



Formlerna (43) och (44) kunna förenas i en enda på föl- 

 jande sätt. Vi sätta, vare sig att n är udda eller jämt, n 

 under formen 



(45) n = p[Y^ • • • P^^ , 



der Pj, p^,...pfi äro alla positiva primtal (udda eller jämna), 

 som gå upp i n, och der 



J^l ^ 1 , ^2 ^ 1 ' • • • V ^ 1 ' 



och vi erhålla då tydligen af eqv. (43) och (44) formeln 



(46) ^(.,4„) = 2n|(^^^).(^4;)!^ 



h vilken gäller för hvarje z/ och h varje helt positivt n. Om vi 

 multiplicera tillsammans faktorerna i högra membrum af eqv. 

 (46), så finna vi 



(47) ^.(^,4,0 = 2j^(-^), 



cl 



der d genomlöper alla positiva divisorer till n, som äro mul- 

 tipler af 



Vi —1 Vo — 1 v,, — 1 . 



Pl P2 ■•■Pf,^ ' 



om vi då, såsom förut, med d^ förstå den komplementära divi- 

 sorn till d, så att 



/ — - 

 rti - ^ , 



så genomlöper d^ alla sådana divisorer och blott sådana divi- 

 sorer till n, som ej äro delbara med några andra qvadrattal än 

 med enheten. Vi erhålla alltså af eqv. (47) 



(48) i/;(z^,4n) = 2^(|)u, 



hvarmed följande teorem är bevisadt: 



Te o rem II. Om J är en fundamentaldiskriminant, och 

 w ett helt positivt tal, hvilket som hälst, så är 



