140 BERGER, OM KONGRUENSER AF ANDRA GRADEN. 



n = 00 n — tx) 



(81) V^(./,4«)<7('i) = 2' 



n = 1 



n = 1 



Vi sammanföra nu formlerna (77), (81) i följande teorem: 

 Te crem III. Om D är en diskriminant, livilken som hälst, 

 och J en fundamentaldiskriminant, och om vidare g(')n) är en 

 funktion, som för alla hela positiva värden på m och n upp- 

 fyller vilkoren 



g(m)g(n) = g{mn) , g{\) =-1, 

 så är 



E(^^K")-Z(")^« 



^(^')v^(Z>,4n)Kn)=2"-^ 



IJ = OO 



Yj.'^V'^y 



n 



samt 



J(=OT « = 00 



2^^( /, in)g{n) = 2 "-' „,r' , 



)i = 1 



om blott de här förekommande serierna obetinsadt konvergera. 



t/<A4r/), ip{./An) 



Vi skola med användning af detta teorem bestämma funk- 

 tionernas 



n 



medelvärden för alla hela positiva värden på n. Vi använda 

 för den skull följande formel, som Professor Kronecker be- 

 visar i sina föreläsningar öfver talteori: 



?i = 00 



(öZ) lim -^ ^ ^ = lim w \ —T — , 



>i = CO '« ?(! = o / J 1I 



n = I 



