154 BERGER, OM EN TALTEORETISK FORMEL. 



(6) r^O, s>l, s = l, mod. 2, 

 och eqv. (1) kan då skrifvas 



(7) x"- + y'' + rs. 



Om r = O, så följer omedelbart af eqv. (5) 



(8) H>{n) = j//(.), 



och vi skola visa, att denna formel gäller äfven för r ^ 1 . Är 

 nämligen i detta fall .r, ?/ en lösning till eqv. (7), så måste 

 antingen både re och y vara jämna eller också både x och y 

 vara udda. Om vi derföre sätta 



.... X + y X — y 



så äro ,rj och y^ hela tal, och man finner lätt, att dessa tal 

 satisfiera eqvationen 



(10) .-; +y\^-^2'-'s. 



Om vi lösa eqv. (9) i afseende på x och ?/, så finna vi 



(11) X r^ x^ +^1' ^ = -^1 — yi- 



Häraf följer, att vi erhålla alla hela lösningar x, y till eqv. 

 (7) af eqv. (11), om vi der införa alla system af hela värden 

 på .fj, ?/j, som satisfiera eqv. (10); på detta sätt erhålla vi ej 

 heller några andra värden på x, y än hela tal, som satisfiera 

 eqv. (7). Vi erhålla vidare på detta sätt hvarje lösning blott 

 en gång; detta följer deraf, att enligt eqv. (9) talen Xy och y^ 

 äro entydigt bestämda af x och y. 



Härmed är formeln 



(12) ii{2'-s)^yj{r-'s) 



bevisad, och genom upprepadt användande af denna formel er- 

 hålla vi 



(13) ni2'-s) = ^is). 



och således enligt eqv. (5) 



(14) xl,{n) = iiis). 



hvilken formel således gäller för hvarje helt positivt värde på 

 n. Af eqv. (4) och (14) erhålla vi nu 



