334 BOHLIN, OM EN GRUPP AF DIFFERENTIALEaVATIONER. 



in — jn' 

 blifva hur små som helst. Frågan om, hvilket inflytande denna 

 omständighet utöfvar med afseende på konvergensen af serien 

 (2), har för någon tid sedan blifvit framstäld och underkastad 

 en utredning^), af hvilken framgår, att såvidt serien 



Z"-- 



kan anses konvergera såsom en potensserie, den motsvarande 

 serien 



Z^^, (3) 



m — jn 



äfven med bestämdhet konvergerar, om förhållandet 



n' 



(.1= - 



n 



är ett algebraiskt tal, d. v. s. ett tal, som kan anses såsom rot 



till en irreduktibel algebraisk eqvation 



O =-^A* + Giilt^-1 + ... + G,, 



hvars koefficienter G äro hela tal. Men det är å andra sidan 

 äfven möjligt att visa, att, för vissa transcendenta värden af^it, 

 serien (3) divergerar och detta på ett sådant sätt, att 



A- ■ 



lim ^^^, = 00 , 



in — jn 



då de hela talen i och j på ett visst sätt tänkas obegränsadt 

 växa. Värden på (,i af denna art kunna till godtyckligt antal 

 angifvas inom hvarje område för (.i huru litet som helst. Vid 

 första påseendet synas därföre de serier, som vid hvarje approxi- 

 mation inom störingsproblemet framkomma, vara oanvändbara. 

 Att emellertid en sådan åsigt är förhastad, inser man af den 

 omständighet, som af prof. Gyldén nyligen blifvit påpekad-), 

 nemligen att värdet af (.i icke kan anses godtyckligt, enär det i 



') Bemerkungen zur Theorie der allgemeinen Störungen von Prof. H. Bruns. 



Astronomische Nachrichten, Band 109, N:o 260(3. 

 *) Untersuchungen über die Convergenz der Reihen, welche zur Darstellung der 



Coordinaten der Planeten angewendet werden. Acta Mathematica 9, sid. 185. 



