650 MÖLLER, ÜBER COIiNCIDENZSYSTEME DER DIFF. -GLEICHUNGEN. 



Unsere Aufgabe ist, die Beziehungen zu erforschen, die zwischen 

 den beiden Systemen stattfinden können. 



Zunächst ist zu merken, dass durch irgend einen Punkt der 

 Ebene noch unendlich viele /-Curven hindurchgehen, den unend- 

 lich vielen Richtungen vom Punkte aus entsprechend. Wählt 

 man aber irgend eine von diesen Richtungen aus, d. h. giebt 

 man auch dem y einen gewissen Werth, erhält man nur eine 

 endliche Zahl einander im Punkte berührende Curven und zwar 

 p, von denen jede einem der 'p ?/"-Werthe aus (/) entspricht. 



Genügt nun aber der gewählte Werth von y' der Gleichung 

 (/^) und also zwei ?/"-Werthe gleich werden, gestaltet sich die 

 Sache folgendermassen. Entweder haben ziuei verscliiedene f- 

 Curven denselben Werth von y", d. h. osculiren einander, oder 

 es muss eine einzige f-Curve eine Singularität mit zwei gleichen 

 ?/"-Werthen besitzen. 



Jener Fall fordert indessen ein vollständiges Quadrat als 

 Factor in (F). Ist nämlich 



,f(w,y,y',a) = 



das erste Integral der Gleichung (f), wird man finden, dass die 

 linke Seite der Gleichung (F) aus der Discriminante des cf in 

 Bezug auf a, mit einem quadratischen Factor multiplicirt, be- 

 steht. Dies wird in ganz derselben Art gezeigt, wie Darboux 

 den entsprechenden Satz bei Ditferentialgleichungen erster Ord- 

 nung beweist^). Da nun zwei verschiedenen /"-Curven auch zwei 

 verschiedene Wertlte der Grösse a gehören, muss eben der Fall, 

 wovon die Rede ist, jenem quadratischen Factor entsprechen. Von 

 einer gegebenen Differentialgleichung ausgehend, wird man na- 

 türlich nur ausnahmweise einen solchen Factor erhalten; also 

 wird der fragliche Fall auch nur ausnahmweise vorkommen. 



4. In der Regel hat also eine von den /-Curven eine Sin- 

 gularität mit zwei gleichen 7/"-Werthen. Zu leichterer Orienti- 

 rung wollen wir zuerst annelimen, dass das vollständige Integral 

 algebraisch und zu rationaler, ganzer Form gebracht worden 



') A. a. 0., S. 175. 



