ÖFVERSrGT AF K. VETENSK.-AKAI). FÖRirANDLTNGAR 188 7, N:0 10. 651 



ist. Den zu untersuchenden Punkt wählen wir zum Anfangs- 

 punkt der Coordinaten und die Tangente der Curve zur Axe 

 der A'. Die Curve muss dann im Anfangspunkte zwei Äste ha- 

 ben, deren jeder nach Cayley^) durch eine Gleichung von der 

 Form 



y = Ax'' + ßx' + . . . 



charakterisirt ist, wo die Expononte r, s, . . . ganze Zahlen oder 

 Brüche mit dem Nenner 2 sind und r (der kleinste) > 1 ist. 

 Für .^■ = 0, ^ = Avird aber y" unendlich wenn r = -^1^, und 

 verschwindet wenn r > 2 ist; also ist im allgemeinen r — 2. 

 Damit die Äste denselben Werth von ?/" haben, muss auch A 

 für beide gleich sein. Ihre Gleichungen werden von der Form 



y = a,T- + bx"'^ + . . . 

 y = ax- — hx" 2 + . . . 



Avoraus man findet, dass die Gleichung der Curve von der Form 



(y — ax-y- + 7 0^'':y) = ^ 



ist, wo (f(x,y) nur solche Glieder enthält, die von höherem als 

 dem vierten Grade werden, falls x- statt y darin substituirt wird. 



Diese Gleichung repräsentirt eine solche Spitze, bei welcher 

 die beiden Curvenäste auf derselben Seite der Tangente liegen, 

 die »Schnabelspitze», die unter anderem einem Doppelpunkte und 

 einer Spitze äquivalent ist-). 



5. Es wird jetzt gezeigt werden, dass immer, also auch 

 wenn das vollständige Integral transscendent ist, eine Singulari- 

 tät der eben besprochenen i\.rt vorkommt. 



Derivirt man die Gleichung (/) erhält man 



(1) /i + /2.!/' + hy" + Af = 0. 



Hieraus ergiebt sich, dass y'" für das fragliche Werthsystem 

 von X, y, y', ij'\ das mit x^, y^, y'^, y'\^ bezeichnet werde, unend- 

 lich ist. Ihr reciproker Werth, d. li. -—, ist dagegen endlich 



^^y 



') »On the higher siiignl. of a plane Curve», Quart. Journ. uf Mathem., V. 7. 

 '^) Cayle\, a. a. 0. 



