652 MÖLLER, i'-BER COINCIDENZSYSTEME DER DIFF. -GLEICHUNGEN. 



und. zufolge der Annahme im Anfange des Art. 2, eine in der Nähe 

 von .''o^ ^0' y'o' y'o synektische Function, kurzweg (f(x,y.,ii\y"). 

 Fassen wir denn .v, y und y als Functionen von y" auf, so ist 

 dii , dx , du' ,, dx , 



dy' -^ dy dy '' dy 



( dx , „. 



\-d^-=y • y(^''' .y' ^ ' ^ ) 



Wir haben hier ein System simultaner Differentialgleichungen, 

 Avelche die Ableitungen von .r, y und y als synektische Func- 

 tionen in der Nachbarschaft von x^,y^^y\^^ y'\ bestimmen. Die 

 Integrale selber ,r, y und y' sind dann synektische Functionen 

 von y" in der Nachbarschaft von y" ^ und können also in diesem 

 Bereich in convergente Reihen nach den ganzen Potenzen von 

 {y" — y,^) entwickelt werden i). Die Coefficienten dieser Reihen 

 werden durch successives Differentiiren der Gleichungen (2) er- 

 mittelt. Aus der ersten von diesen erhält man 



drx dx dy dy' 



dy - *^ dy ^- dy ^ ■^ dy ^^ 



_^ ., dx dy - dy' .... , „ i • j • j 



Weil ,—77, 7^ und -^ rur x^, v-,, ?/„, »/ ,, verschwinden, wird 

 dy dy dy o'yo' ^ o' j o 



d-x 



-r-TTT = (fn = -cc, welche Grösse nicht verschwindet, da es sich 

 dy - 



von dem Gleichsein bloss zweier y'-Werthe handelt (vgl. Art. 11). 



Die das x bestimmende Reihe ist also (wir schreiben kürzlich 



'^ö .V^ /' y stiitt A- — .r„, y — y^i, y'~y'o^ v" —y\) 



(3) X = ay"- + ßy'"^ + . . . 



Man könnte darnach ebenso die ?/-Reihe erreichen. Das ist doch 



nicht nöthig. Aus (3) ergiebt sich nämlich-) 



y" = Ax''-^- + Bx + Cx'^^ + ... 



') »Theorie des lonctions elliptiques», piir MAf. Binor et Boü«uet, Paris 1875, 



S. 333. 

 ') Vs;l. BiiioT et, BouuUET, a. a. 0., S. 3-tÜ. 



