ÖFVERSIGT AV K. VETENSK.-AK AI). FÖIUI AN l)LIN(JA K 1887, N:0 10. 65;i 



Integrirt man nun zweimal, erhält man 



(4) 1/ = //'o A- + y^^ir + aa^'/^ + b.v'-^ + c.i^l'^ + . . . ') 



Wir sind denn zu demselben Resultate gelangt wie im letzten 

 Art. Der Unterschied ist nur, dass die rechte Seite in (4) un- 

 endlich viele Glieder enthalten kann, wodurch aber die Singu- 

 larität keine Änderung erleidet. 



6. Von dem im Anfange des Art. 3 angeführten folgt nun: 

 erstens, da die Coordinaten des untersuchten Punktes ganz be- 

 liebig gewählt wurden, dass überall in der Ebene bei dem Sy- 

 steme der /-Curven Schnabelspitzen vorkommen; zweitens dass 

 in einer jeden dieser Singularitäten diejenige /-Curve, der die- 

 selbe gehört, von einer F-Curve berührt wird; und drittens, dass 

 in jedem Punkte der Ebene die Anzahl dieser Singularitäten 

 gleich VI ist, natürlich m verschiedenen /-Curven gehörig, wenn 

 m den Grad des y' in (F) bedeutet. Wählen wir irgend eine 

 von den F-Curven aus, können wir ihre Beziehung zu dem Sy- 

 steme der /-Curven Avie folgt aussprechen: diejenigen von den /- 

 Curven, von welchen dieselbe berührt wird, haben im Berührungs- 

 punkte eine Schnabelspitze. 



7. Jetzt wollen wir annehmen, dass {F) ein singuläres In- 

 tegral ist. In dem Falle sind die /'^-Curven zu dem von (/) 

 definirten Curvensystem mitzurechnen. Der eine Werth von y" 

 gehört dann einer /^-Curve, und weil also bloss ein Werth den 

 /-Curven gehört, brauchen diese keine Singularitäten zu haben, 

 sondern nur gewöhnliche Punkte. Irgend eine der i^-Curven ist 

 osculirende zu denjenigen /-Curven, von denen sie berührt wird. 



Dies bestätigt sich analytisch in folgender Weise. Damit 

 (F) singuläres Integral sei, luusste die Bedingung 



') Setzt man x^u", wird y" synektische Function von u, und also auch 2uy" , 



d. i. — . Dasselbe «ilt dann auch betreffend y' (Briot et BouauET, a. a. 

 du 



0., S. 327), weiter auch 2uy' , d. i. — , somit schliesslich für y. Die Ent- 



du 



Wickelung von y nach u, d. h. x '- , ist also zulassig, was wohl übrigens 



von den Auseinandersetzungen des Art. selbst unmittelbar folgen dürfte. 



