654 MÖLLER, ÜBER COINCIÜENZSYSTEME DER ÜIFF. -GLEICHUNGEN. 



(1) " fi+h/ + hy"=^ 



erfüllt sein (Art. 2). Aus der Gleichung (1) in Art. 5 sieht 



man, dass in diesem Falle y'" die Form H annimmt. Um y'" zu 



bestimmen, niuss man deriviren, ^vobei man die quadratische 



Gleichung 



(2) Uy'"'- + (2/;, + y\,y' + 2f,,y" + f,)y"- + /,, + 2f,^y' + 



+ UjJ- + hy" + y,,y" + yr^yy" + hzy"- = o 



erhält. Nun ist aber zu bemerken, dass (^F) auch ein Integral 

 ist sowohl der Gleichung y^ = wie auch der Gleichung (1): 

 die Ableitung y" von {F) genügt ja diesen beiden ebensowohl 

 wie der Gleichung (/"). Man kann also die folgenden Ableitun- 

 gen von [F) durch DifFerentiiren entweder aus f\ = oder aus 

 (1) erhalten. So erhält man für ihre Ableitung y'" die beiden 

 Gleichungen 



(3) f^y'" + /i4 + f2,y' + f-siy" = o 



(4) (fu + f-uy' + Å.y" + fz)y"' + fn + ^A^.y' + f^y'- + Uy" + 



+ Visy" + -f-izy'y" + h^y"- = ^■ 



Der Werth von y'", der diesen genügt, macht auch (2) iden- 

 tisch verschwinden. Mithin gehört die eine Wurzel dieser Glei- 

 chung dem singulären Integral (F), und die andere erhält man 

 aus der linearen Gleichung 



(5) A,y"' + fz + /i4 + /24/y' + luy" = 0- 



Es wnrd also y''' eine synektische Function von x, y, y' und 

 ?/"; man kann denn in diesem Falle ^) ein simultanes System 

 von der Form 



-^=^f(^^',y^y,y)\ 



^ - y" l 



dy 



d.'c 



y 



) 



bilden und daraus y, y und y" nach ganzen Potenzen von x 

 entwickeln. Man erhält für y: 



') Ebenso wie für ein beliebiges Werthsystcm (welches (F) nicht befriedigt). 



