(■)FVE11SIGT AV K. VETENSK.-AKAD. PÖIUIANDLINGAR 188 7, N:0 10. 655 



u — .y'o'^' + 2^0'*'" + ^'-'-^ + . . . 



8. Die aus (3) und (5) im letzten Art. entspringenden 

 Werthe von //'" sind im allgemeinen verschieden. Die Bedingung 

 ihrer Gleichheit ist 



/3 = 0. 



Wenn diese erfüllt ist, sollte also die F-Curve eine vier- 

 punktige Berührung mit der /-Curve haben; es seien die vier 

 Punkte A, B, C und IJ. Die folgende, unendlich benachbarte, 

 /-Curve muss nun die Punkte B, C, D und noch einen mit der 

 jP-Curve geraein haben; folglich haben diese beiden /-Curven die 

 Punkte B, C und D gemein, d. h. eine Berührung zweiter Ord- 

 nung. Es giebt also an jeder Stelle drei Curven, nämlich die 

 beiden auf einander folgenden /-Curven und die ^-Curve, die 

 denselben Werth von y" haben. Dieser Fall ist also nur möglich, 

 wenn mindestens drei Werthe von y" zusammenfallen^). 



Hier aber, wo es sich von dem Gleichwerden bloss zioei&r 

 ?/"-Werthe handelte, bleibt uns also nur eine Deutung übrig, 

 nämlich: (F) ist particuläres Integral.' 



9. Im letzten Art. var die Gleichung 



(1) /i + Alf + hy" = 



in der Weise befriedigt, dass 



(2) /3 = 



und also auch 



i'^) /i + f-iU = 



waren. Wir erhielten (F) als particuläres Integral von (/"), 

 wobei wir doch vorausgesetzt hatten, dass [F) überhaupt ein 

 Integral sei. Dies ist aber, wenn (2) und (3) erfüllt sind, keines- 

 weges nöthig. Es wurde in Art. 2 erwiesen, dass die Ableitung 

 y" (rj") von (F) sich aus 



(4) /, + ,/;,!/' + ;W = 



') Die analytische Begi-ündung der hier gemachten Behauptungen, welche nicht 

 sehr selnver ist, lasse ich weg. 



