658 MÖLLER, ÜBER COINCII>ENZSYSTEME DER DIFF.-GLEICHUNGEN. 



bezeichnen wir kurz die successiven partiellen Ableitungen irgend 

 einer Function cp nach ?/" lalso (f — cp^ = -rr, ■> ff' = fpia = 



-T-^ , . . . rr^*^ = -—-!. ) • Nehmen wir an, es werden m ?/"-Werthe 

 dy"-' ' dy""} '^ 



gleich einander, sind also die Bedingungen 



(1) y 3=0, /" = 0,/"' = 0,.../(™-l)=:0 



erfüllt. Ist nun (/^) kein Integral von (/), erhält man ein Sy- 

 stem simultaner Diiferentialgleichungen von ganz gleichem Aus- 

 sehen wie in Art. 5; der wesentliche Unterschied aber ist, dass 



d'^x 

 -j-;77j, wie wir sogleich finden werden, für das fragliche Werth- 



system {x^, y^^, y'^, y'^) verschwindet. Zuvor machen wir jedoch 

 folgende Bemerkung: so lange wie die aus den erwähnten Glei- 

 chungen sich ergebenden successiven Ableitungen von a; ver- 

 schwinden, werden auch die Ableitungen von y und y' verschwin- 

 den. Man ersieht dies leicht, wenn man vor dem Differentiiren 

 die Gleichungen in der Form 



i dx , 



.«X ) dy _ ,, dx 



^^ Yy""-^ df 



I dy ,, dx 



\W' ^''' W' 



schreibt. Ist nun m' == 0, wird -7-^, = 0, mithin auch —-^ = 



dy - dy - 



d-y' 

 und -—r« = 0. Bei der nächsten Diiferentiirung der ersten Glei- 



dy"' 



chung erhält man also ausser </" nur solche Glieder, die gleich 



d!^x 

 Null werden; ist denn cf" = 0, wird auch ^-^^ = 0, u. s.w. Gilt 



es also die erste Ableitung von x zu haben, die nicht verschwin- 

 det, braucht man nur auf die partiellen Ableitungen von (p nach 

 y" Rücksicht zu nehmen. 



Setzt man /\ + f^y' + f^y" — — 'F, ist im System (2) 

 ^ =zf' . 'qs~\ |(-ygj_ (i^^ i^y.^ 5^, Daraus ergiebt sich (p' —f . y-^ — 



