700 JOHANSON, ALGEBK. LIKHETER OCH ELL. INTEGRALER. 



x,ye p I, der 



/ Ulli \ 



k är ett af talen 1, 2, . . . .p — 1. H\x,ye v ] måste således 

 äfven vara en i7-funktion. Härigenom erhålles p ^-funktioner, 

 medels hvilka hvar och en af qvantiteterna 



$?^^ a=o,....,-i„„_.=o) 



kan uttryckas som en linear funktion af iE?-funktioner d. v. s. 

 de måste sjelfva vara //-funktioner. För enkelhetens skull skall 

 jag först särskildt betrakta 



r - nx) 



och sedan de öfriga under en gemensam form 





(X = 0, 1, ...p — 2) 



(23) 



yP — P{x) Vi?(^) 



Växer x mot oo, blir nämnaren oändlig af ordningen pu. På 

 grund af (21) kan derför tälj aren vara högst af graden p// — 2. 

 Är k skild från Cy_ och e-y. är likheten (20) alltid uppfyld. För 

 att den skall vara det, äfven om k är ett af dessa båda och 

 enär R{x) innehåller x — Cy_ i potens 2??^ + y.y och x — e-yX po- 

 tens 2vy, + f;., så måste cfp^i innehålla (x — Cyy-y- och (x — ey^'x 

 och följaktligen (23) hafva formen 



yP — P{x) Wt,_,-1 



hvarest (x)^ _i betyder en godtycklig hel funktion af x af 

 graden Xp-\ — 1 och 



rp_i — pii — 1 — In — Iv 



= \Iy + \Ie — 1 (enligt 18) 



Det må anmärkas, att detta tal ip-\ är lika med rangen 

 i den ursprungliga likheten /(.r, z) = 0. 



