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Wir haben hier die Formen, der Zahlen x x x n gefunden, 



wir sehen aber auch, dass diese Werthe der gegebenen Gleichung 

 befriedigen. 



Sind die Gleichungen (III) von einander abhångig, wird die 

 obenstehende Entwickelung illusorisch. Von solchen Fallen aber 

 wollen wir absehen. 



Enthalten die Factoren in (I) mehrere Unbekannten als n z.B. 

 n~\ m. so braucht man nur beide Seiten der Gleichung (I) mit 

 einem Producte von m linearen homogenen und ganzzahligen Fac- 

 toren zu multipliciren um die Gleichung durch unsere Methode 

 auflosen zu konnen. 



Sind dagegen die Anzahl der Unbekannten kleiner als n z.B. 

 gleich h — m und die Gleichung (I) doch in ganzen Zahlen moglich 

 ist, dann erhalten wir des Systems (II) wegen stått dieser Gleichung 

 in Allgemeinheit vri homogene ganzzahlige Gleichungen (n — m) 

 ten Grades der ganzen Zahlen a 1 ■ • • • a n -\. 



Ist F (xj • • • • x n ) = o nicht langer eine homogene Gleichung, 

 konnen wir trotzdem, wie spåter gezeigt wird, in vielen Fallen 

 unseres Verfahren benutzen um zu der ganzzahligen Auflosung 

 der Gleichung zu erlangen. 



Låsst sich die Gleichung: F(x 1 ---x n ) = o auf die Form (I) 

 bringen, so sicht man, dass jede gleichzeitige ganzzahlige Auflosung 

 zweier Gleichungen 



P a = O Qrj = a, /3 = 1, • •■ n — 1 



eine Losung der Gleichung F (x ± - ■ ■ x n ) = o giebt. 



Umgekehrt konnen wir beweisen, dass wenn eine Gleichung: 



F (Xj • • • X n ) == 



eine gewisse Anzahl solcher Losungen 



P a = o Qp = o 



besitzt, dann låsst sich die ■ Gleichung auf die Form (I) bringen, 

 wodurch wieder, wie gezeigt, die allgemeinste Losung gefunden 

 werden kånn. 



