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a q 2 — 2 qp 



b p l — 2 qp 



Weil p und q relative Primzahlen sind. konnen q- — 2 qp und 

 p 2 — 2 qp hochstens einen gemeinsamen Divisor 3 haben. In 

 diesem Falle muss 



p — 2 q = 3r und folglich 



q 2 — 2pq — q(2r-\-q) 



p 2 — 2 qp r (3 r -t- q) 



(g + 2r) 2 — 2(q-V 2 r) r q 1 2 — 2q x p 1 



r 2 — 2 fø -f- 2 r) r p ± 2 — 2 q x p x 



Wir haben also: 



a = + fø 2 — 2 qp) b = + (p 2 — 2 qp) 



B = ^f(p 2 — pq -f q 2 ) 



Substituiren wir die Werthe von a und b in der Gleichung 



a f b = A 9 < 



so bekommt man p 2 + q 2 — 4pq = + A 2 oder 



fø — 2p) 2 — 3p 2 = ± A 2 



Hier Jkann man nicht das untere Zeichen benutzen. Sonst 

 håtten wir nåmlich: 



3p 2 = A* + (q — 2p) 2 



eine Gleichung die, wie man so fort sieht, unmoglich ist. 



Wir haben also das obere Zeichen zu wåhlen und bekommen 

 somit: 



a = q 2 — 2qp b=p 2 —2qp 



(p-q) 2 -2pq = A 2 



2pq = (p — q-r A) (p — q — A) 



a.2p = ft(p — q ■+■ A) 

 . fl- q = a(p — q—A) 



