30 M.-LEFFLER, YTTERLIGAKE OM FUNKTIONERAF RATIONEL KARAKTER. 



och en efter hela och positiva potenser af (a' — ap) fortskridande 

 beständigt konvergerande potensserie, hvars lägsta potens var 



m + l 



{x — ap) 



Summan af de återstående termerna kan uttryckas som en efter 

 hela och positiva potenser af (.v — ap) fortskridande inom en 

 viss ändlig cirkel absolut konvergerande potensserie, hvars lägsta 

 potens också är 



ni + l 

 {.V üp) 



Den uti (32) framstälda funktionen F(x) har således den första 

 af de erforderliga egenskaperna. Densamma kan nemligen inom 

 en cirkel, hvars medelpunkt är ap, och hvilken har en ändlig 

 radie, hvilken är mindre än den minsta af modulerna ap — a^, 

 uttryckas i en potensserie, hvilken är summan a.f R(x — ap) 

 och en efter hela och positiva potenser af (o; — ap) fortskridande 

 absolut konvergerande potensserie, hvars lägsta potens är 



(a; — ap) 



Utaf den härledning, som i det föregående blifvit använd, fram- 

 går äfven omedelbart, att funktionen F(a;) också har den andra 

 af de erforderliga egenskaperna, eller att densamma för en ändlig 

 omgifning af en punkt a, hvilken icke är en oändlighetspunkt, 

 kan uttryckas såsom en efter hela och positiva potenser af 

 (a — a) fortskridande absolut konvergevande potensserie. Vi äro 

 således nu vid målet för vår undersökning, och uti den genom 

 formlerna (32), (6), (11), (5), (13), (15), (14), (21), (24) och 

 (25) definierade funktionen F(x), ha vi erhållit en analytisk 

 funktion af de erforderliga egenskaperna. 



En fråga uppstår nu. Ar F(a;) den enda analytiska funk- 

 tion, hvilken innehar de fordrade egenskaperna, eller äro äfven 

 andra analytiska funktioner af denna natur möjliga? Svaret är 

 tydligt. Differensen mellan två dylika funktioner är en funktion 

 af hel karakter, hvilken uti punkterna 



