34 G. MITTAG-LEFKLER, OM FUNKTIONER, AF RATIONEL KARAKTER. 



konvergei'ande potensserie, hvilken fortskrider efter hela och po- 

 sitiva potenser af — , och hvilken innehåller negativa potenser 

 endast till ändligt antal. Förekomma alls inga negativa poten- 

 ser, säges det, att funktionen uti punkten w=^ — har karaktet^en 

 af en hel funktion. Förekomma deremot negativa potenser, sä- 

 ges detj att f)unkte.n x = — år en oändlighetspunkt till funk- 

 tionen. Det finnes nu en elementär sats ur funktionsteorien, 

 hvilken lyder, att hvarje entydig funktion af en oberoende vari- 

 abel, hvilken för hvarje, ändligt eller oändligt, värde aj denna 

 variabel har kar akter en af en rationel funktion också 

 nödvändigt är en ratio 71 el funktion. En entydig funktion 

 af en oberoende variabel, hvilken för hvarje ändligt värde af 

 denna variabel har k ar akter en af en rationel funktion, utan 

 att dock vara en rationel funktion, förlorar således sin rationella 

 karakter, då variabeln blir oändlig. 



Genom en enkel Substitution kan man nu åstadkomma, att 

 funktionen bibehåller sin rationella karakter, då den oberoende 

 variabeln växer i oändlighet, men i stället förlorar densamma i 

 en ändlig godtyckligt föreskrifven punkt. En dylik punkt be- 

 nämnes af Herr WEIERSTRASS en gränspunkt till funktionen. 



Om en funktion af en oberoende variabel inom ett visst om- 

 råde för denna variabel öfverallt, utom i en viss gifven punkt, 

 har kar akter en af en rationel funktion, så benärnnes demia punkt 

 en gränspunkt till funktionen. 



Fm funktion af den oberoende variabeln cc, hvilken för hvarje 

 värde af denna variabel, med undantag af det enda tär det 

 {C = 31, har karakteren af eii rationel funktion, säges vara en 

 funktion af rationel karakter med gränspunkten 31. 



I enlighet med denna terminologi, är det fullständiga namnet 

 på den funktion, som vi förut för korthetens skull kallat funk- 

 tion af rationel karakter, numera funktion af rationel karakter 

 med gränspunkten — . 



Vi vilja nu till att börja med bevisa vårt påstående, att 

 hva7Je funktion af rationel kar akter med gränspunkten 



