36 G. MITTAG-LEFFLER, OM FUNKTIONER AF RATIONEL KARAKTER. 



och likaledes 

 (2/ -*,.)" = 



+ 



(-i)"..»-(,T£i)(i-^(^-il. , 



3 



n{n+l)(n + 2) I x — aÅ 



\^^~1/ "^ 



n{n + l) I X — «,. 



{^^) 



13 



(7). 



Låt oss nu betrakta /(y) i närheten af en oändlighetspunkt. 

 Man har 



Ä^)-(!/-br)~''p^j!/-br) (8), 



hvarest p {y — &,.) är en efter hela och positiva potenser af 

 {y — b,^ fortskridande absolut konvergerande potensserie. På 

 grund af formlerna (6) och (7), erhåller man således ^) 



(9), 



F(a;) = (a; — a,) P (x — a,) 



hvarest P {oa — a^) är en efter hela och positiva potenser af 

 {x — a,) fortskridande absolut konvergerande potensserie. Formel 

 (9) gäller uppenbarligen äfven då Ar = O och för hvarje punkt 

 a, sådan att 



^ = « + ^"1 • • • (1^) 



och att a > 31. Formel (9) visar oss således, att funktionen 

 F(x) för hvarje värde af x utom möjligen för 



X = %. och X =^ — 



o 



har kar akter en af en rationel funktion. För x ^== — , erhåll es 



ur (1) 



b = a (11) 



och således 



') På grund af satsen: 



Om /o(a'), f\ {x), /^{x) .... /"„(a;) .... äi'o funktioner af x, livillca öfver- 

 allt inom ett visst område äro funktioner af hel karakter och om dess- 

 utom serien 



00 



^^„/»(-) 

 o 

 för hvarje område, hvilket är beläget inom det först angifna år en lik- 

 formigt konvergerande serie, så har denna serie inom det först an- 

 gifna området karakteren af e?i hel funktion. 



