38 G. MITTAG-LE PFLER, OM FUNKTIONER AF KATIONEL KARAKTEll. 



karalder, hvilken har — till gränspunJd, ocli hvilken blir noli och 

 oändlig af föreskrifven ordning alltid och endast uti en serie af 

 godtyckligt gifna punkter. Vi ha vidare, uti våra båda ofvan 

 citerade arbeten, löst det allmännare problemet, att analytiskt 

 framställa hvarje funktion af rationel karakter, hvilken har — 

 till gränspunkt, och hvilken blir oändlig utaf föreskrifven ord- 

 ning alltid och endast uti vissa gifna punkter, och vid hvilken 

 dessutom de mot hvarje oändlighetspunkt svarande utvecklings- 

 koefficienterna med negativ index samt äfeuledes ett för alla 

 oändlighetspunkterna gemensamt antal ntsif utvecklingskoefficienter 

 med positiv index samtliga äro på förhand godtyckligt angifna. 



Sedan vi nu visat tillvaron af funktioner utaf rationel ka- 

 rakter med en godtyckligt föreskrifven gränspunkt, så uppstår 

 frågan, kunna dessa båda ofvannämda problem lösas, äfven då 

 den sökta analytiska funktionen, i stället för att ha — till gräns- 

 punkt, har till gränspunkt en godtyckligt föreskrifven qvantitet 51? 



Innan vi skrida till besvarande af denna fråga, måste vi 

 uttala, hvilken inskränkning man är underkastad vid valet af de 

 i öfrigt godtyckliga noll och oändlighetspunkterna. Denna in- 

 skränlining följer här såsom då det var fråga om funktioner af 

 rationel karakter med — till gränspunkt, omedelbart ur funktio- 

 nens egenskap, att öfverallt, utom i gränspunkten, vara af ra- 

 tionel karakter. Detta inskränkande vilkor lyder: 



Gränspunkten till en funktion af rationel karakter med en 

 gränspunkt, har följande egenskap). Låt 51 vara gränspunk- 

 ten och X den oberoende variabel, samt r en godtycklig positiv 

 qvantitet, huru stor eller huru liten so7n helst. Utan före 

 det område, hvilket begränsas af x — 5( = t "— om 51 = — 

 skall härvid under x — 51 förstås — ^) mmm-M finnes aldrig mer än ett 

 ändligt antal noll och oäridlighetspunkter, men innanföre'^) 



') Detta synnerligen ändamålsenliga beteckningssätt användes alltid i liknande 



fall af Herr Weiekstrass. 

 ^) Om 21 är en ändlig qvantitet, så är en punkt, a;,, belägen innanföre det 



område som omger punkten % och begränsas af x — % = r, om a-, — 21 <C »"j 



