40 G. MITTAG-LEFFLER, OM FUNKTIONER AF UATIONEL KARAKTER. 



man också tager r, utan före det område, livilket begränsas af 

 X — 3(, aldrig mer än ett ändligt antal iitaf qvantiteter a. 

 Innanföre detta område får deremot finnas vare sig ett änd- 

 ligt eller oändligt antal. Storheterna a få i allt öfrig t väljas 

 fullkomligt godtyckligt. 



Storheterna c skola vara så valda, att mot hvarje a, som 

 icke är beläget på ett oändligt litet af stånd från '^, svarar 

 ett ändligt antal utaf c, af hvilka storheter kvar och en äfoen 

 är en ändlig storhet. I allt öfrigt kunna storheterna c väljas 

 fidlkomligt godtyckligt. 



Det hegäres nu att framställa hvarje funktion af ratio- 

 nel kar akter med gränspunkten 51, hvilken blir oändlig 

 alltid och endast uti punkterna, a; samt vid hvilken den abso- 

 lut konvergerande potensserie, hvarigenom funktionen för 

 omgif ningen af en oändlighetspunkt a,, kan uttryckas, blifver 



-).r 



{x — «,.) 



r, - ;.,. 



(X — ttr) + C + G (X 



-1 ^ r,0 r,l 



+ C (x 



r, m 



+ C (x — a,.) + + 



ttr) + c^^{x — a,:f + J . (17), 



m m+1 



ar) + {x — a,.) . Cf{x — a,.) 



hvarest cp{x — a,.) betyder en efter hela och positiva potenser 



af (x — a,.) fortskridande potensserie. 



Låt oss införa formelsystemet (1) till (15) och således kalla 



den sökta funktionen 



F{x\ 



samt låt oss härefter tillordna hvar och en af de genom formel 



(3) bestämda storheterna 



bl b^b^ . . . . b/ 



en serie af nya storheter 



k k k 

 h-u 1,-ai-i) !,-(/., -2) 



k k k 



2, — ;.2 2,-(/.2 — 1) 2,— (;.2-2) 



. . k k k k . . . 



1,-1 1,0 1,1 1,2 



. . k k k k 



2,-1 2,0 2,1 2,2 



. . k ] 



. . k 



2,m 

















k k 



r,-lr r 



k 



-O.r-l) r. 



-(Ar- 2) 



.. k 

 r. 



k k k 



— 1 r,0 r,\ r,2 



. . k 



r,m 



::;::;:::;::::;::;;;;;::::::;::;: :i 



(18). 



