ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 87 7, N:0 1. 21 



k + ^- „ [x- ar) + .... + k (x-arf ^ \ 



+ k (x-a,)'" + k (x-a,)'"'* + +k {x-a,)'" ' i • (^) 



= G(x-a,) 

 samt vidare 



.;«-n 



('■) 



(--)■ 





«J + 1 



• • (6)- 



Vi vilja bevisa att det är möjligt att finna sådana qvantiteter 

 k och sådana hela tal i; att det sökta analytiska uttrycket blir: 



F(x) = ^(^- <^>)~'" <^,0^' - «'-)/>') • (^)'" (7)- 



För att F{x) skall vara den sökta analytiska funktionen, 

 är det erforderligt och tillräckligt 



1. att F{x) för en ändlig omgifniag af en oändlighetspunkt 

 cip, hvilken som helst, låter uttrycka sig såsom summan af 



c (x — ccp) + G [x — a,) + . . . . 



^c^_^{x-a,) y _ _ ^g^ 



/« + 1 



+ c + c {x — Op) + + c {x — a„)''^' 



p, o p, 1 ^^ p, m ^^ 



:= R {X Clp) 



och en efter hela och positiva potenser af (^x — Up) fort- 

 skridande absolut konvergerande potensserie, hvars lägsta 

 potens är 



(X — ttp) 



2. att F{x) för en ändlig omgifning af en punkt, a, hvilken 

 icke är en oändlighetspunkt, låter uttrycka sig som en 

 absolut konvergerande potensserie, hvilken fortskrider efter 

 hela och positiva potenser af {x — a). 



Vi vilja ur summan (7) frånskilja en enskild term, hvilken 

 vi underkasta en närmare undersökning. Låt denna term vara 



