OPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. rÖRHANDJ;INGAR 1877, N:0 2. 41 



stämd punkt h, hvilken icke sammanfaller med någon af punk- 

 terna 31 låter utveckla sig i en efter hela och positiva potenser 

 af {x — h) fortskridande absolut konvergerande potensserie, samt 

 vidare, att det alltid är omöjligt att utveckla ^{x) i en. efter 

 hela potenser af (^x — W) fortskridande absolut konvergerande 

 potensserie, hvilken endast innehåller negativa potenser till ett 

 ändligt antal. Punkterna 51 äro således verkliga gränspunkter^ 

 och vi ha i F{x) erhållit den sökta funktionen. 



Man kan sätta i fråga, om F{x) också är den allmännaste 

 funktionen af den angifna beskaffenheten. Vi kunna ej här när- 

 mare ingå på denna fråga, men att detta verkligen är fallet, 

 följer deraf att obestämda funktionsformer ingå i funktionerna 

 / och F^. Man kan för öfrigt, utan stor svårighet, bevisa, att 

 funktionen F{x) genom de angifna vilkoren är entydigt och full- 

 ständigt bestämd, så när som på en godtycklig additiv funktion 

 af hel karakter med de n gränspmikterna 51. En dylik funktion 

 kan åter allmänt framställas såsom summan af n godtyckliga 

 hela funktioner, hvardera med en olika af punkterna 31 till 

 gränspunkt. 



Vid lösningen af de problemer, hvilka vi i denna uppsats 

 behandlat, ha vi hela tiden befunnit oss inom samma idékrets, 

 som i af handlingarne : -»^En metod att analytiskt fraynstMla en 

 funktion a.f rationel karakter, hvilken blir oändlig alltid och 

 endast uti vissa föreskrifna oändlighetspunkter, hvilkas konstanter 

 äro på förhand angifnan samt ^^Ytterligare om den analytiska 

 framställningen af en funktion utaf rationel karakter. Pars i». 

 Detta blir ej längre fallet om vi öfvergå till studiet af funktioner 

 med ett oändligt antal utaf gränspunkter. Vi behöfva för ut- 

 förandet af de undersökningar, hvilka då erbjuda sig, vidsträcktare 

 synpunkter än de som hittills kommit i fråga, men om dessa 

 införas, kan man också ganska lätt lösa en hel klass af mycket 

 allmänna frågor. Vi vilja sysselsätta oss härmed uti följande 

 uppsatser, och vi skola då se, huru lösningen af dessa frågor 

 på ett lika enkelt som naturligt sätt kan utvecklas ur de under- 

 sökningar vi redan utfört. 



