12 M.-LEFFLER, ANAL. FRÄMST. AF EN FUNKTION AF RAT. KARAKTER. 



aldrig bli oändlig uti någon annan punkt än punkterna a, ty 

 emedan f{x) och (f{x) äro funktioner af hel karakter, blir qvoten 

 endast då oändlig, när nämnaren ^(a') blir noll. Men (p{oc) blir 

 endast noll uti punkterna a. Utaf funktionsteorien veta vi ock- 

 så, att qvoten 



rf {.v) 



kan för en ändlig omgifning af hvarje punkt b, som icke är en 

 Dändlighetspunkt, omformas i en absolut konvergerande potens- 

 serie, hvilken fortskrider efter Jiela och positiva potenser af 

 {a; — b). Qvoten 



är således en funktion af rationel karakter, hvilken blir oändlig 

 alltid och endast uti punkterna a, och hvilken härvid erhåller 

 utveckling sko ejjicienterna c. Såväl täljaren som nämnaren äro 

 dessutom beständigt konvergerade potensserier och i F{x) ha vi 

 .således erhållit en sådan funktion, som vi önskade framställa. 



Blott en fråga återstår nu, är denna funktion den allmänust 

 möjliga, eller om icke, huru skall densamma förvandlas för att 

 öfvergå i en allmän funktion, hvilken omfattar alla funktioner 

 med de föreskrifna egenskaperna? Denna fråga kan omedelbart 

 besvaras. Vi veta, att om 



(j_,y^n^r---':W[ (34). 



hvarvid P{x) är en godtycklig beständigt konvergerande potens- 

 .serie, så är ^) 



%{.,) = F{x) + F^Ct) (18) 



det allmännaste analytiska uttrycket för en funktion af rationel 

 karakter, hvilken blir oändlig alltid och endast uti punkterna a 

 och härvid erhåller utveckling skoejfficienterna c. Funktionen F Ax) 



') Pag. 31 uti »Ytterligare om den analytiska framställningen af funktioner 

 utaf rationel karakter. Pars 1". 



