4 M.-LEFl-"LER, ANAL. FRÄMST. AF FUNKTIONER AF RAT. KARAKTER. 



af konstanter, livilka äro karakteristiska för en funktion af ra~ 

 tionel harakter med vissa gifna väsendtliga singulariteter^), seder- 

 mera alltid kan analytiskt framställa den motsvarande funktionen. 

 Antalet af de väsendtliga sin g ular it eter na är alltid hos Herr 

 Weierstrass ett ändligt. 



För enkelhets skull vilja vi nu förutsätta, att den transcen- 

 denta funktionen endast har en väsendtlig singularitet och denna 

 belägen i punkten x = — . Funktionen är då en funktion af 

 rationel karakter. Den sistan förda af de Weierstrassiska upp- 

 gifterna kan då framställas på följande sätt. Låt F{x) vara en 

 funktion af rationel karakter. För omgifningen af en godtyck- 

 ligt vald punkt, a, kan man då sätta: 



^w=:-&^; (!)• 



hvarest 



2 



p{x — a) — C + c {x — a) + cj^x — a) + • • • • "1 

 och ' ' " ^ > . . . (2) 



q{x — a) — k + k {x — a) + k (x — a) +••••] 



äro potensserier, hvilka konvergera inom en viss ändlig omgif- 

 ning af punkten a. Om nu 



c=c=....=c =0] 



och ° ' " (3) 



k =k = . . . . =k =0 



1 n ' 



och 



in '^ n (4) 



så är a en nollpunkt till funktionen F{x). Om åter 



n '^ m (5)5 



så är a en oändlighetsjjwikt till F(x). Herr Weierstrass an- 

 tager nu, att alla de punkter — i allmänhet oändligt många — 

 för hvilka (3) och (4) ega rum blifvit godtyckligt angifna, och 

 att alla de punkter — också i allmänhet oändligt många — för 

 hvilka (3) och (5) ega rum också blifvit godtyckligt angifna. 

 Han visar härefter, huru man af dessa godtyckligt angifna noll 

 och oändlighetspunkter alltid kan bilda en motsvarig funktion af 

 ') c. f. tredje anmärkningen å nästföregående sida. 



