ÖFVERSIGT AF K. TETENSK. AKAD. FÖRHAXULIXGAK 187 7, N:0 10. 5 



rationel karakter. Härvid är dock att märka, att det icke får 

 ßnnas mer än ett ändligt antal utaf punkter a inom livarje 

 ändligt område. Detta följer omedelbart deraf, att den sökta 

 funktionen skall vara en funktion af rationel karakter. Vidare 

 finnes det oändligt många funktioner, hvilka svara mot de gifna 

 konstanterna a. Om F{x^ är en af dessa funktioner så erhållas 

 alla de öfriga ur formeln 



%{x) = e"^^"^ .F{x) (6), 



hvarest P{x) betyder en godtycklig beständigt konvergerande 

 potensserie. 



Det är nu lätt att se, hurusom detta Weierstuassiska 

 problem innehålles såsom specialfall under följande vida allmän- 

 nare problem. 



Låt 



XX X (7) 



12 p ^ ^ 



vara en oändlig serie af bestämda värden på variabeln x. Låt 

 oss om dessa värden antaga, att det inom livarje ändligt om- 

 råde för variabeln x endast finnes ett ändligt antal af desamma. 

 Låt oss vidare tänka oss, att till hvarje vcirde x är tillordnadt 

 tvclnne serier af konstanter 



c c c ... 



pO pl p2 



. . . C 



pmp 



fC rC fC ... 



pO pl p2 



. . .k 



pnp 



(8) 



hvilka samtliga är o ändliga och förekomma till ändligt antal, 

 så snart blott x är belägen inom ändligt område. Det begär es 

 att analytiskt framstcilla en emot punkterna (7) och konstanterna 

 (8) svarande funktion af rationel karakter, hvilken för 

 omgifningen af hvar och en af punkterna x låter utveckla sig 

 uti en qvot af formen 



c +C (X — Xp) + C {X — Xp)+--- + C (X — Xp) +•••■ 

 pO pV ^^ pl ^' pm^ ^^ /g^ 



k +k (x-Xp) + k (x — x„)+---+k (x — Xj,) ''+•■- • 



po pl ^' pr ^^ pn^ ^' 



hvarvid täljare och nämnare äro inom vissa ändliga områden 

 konvergerande potensserier. 



