6 M.-LEFFLER, ANAL. FRÄMST. AF FUNKTIONER AF RAT. KARAKTER. 



Emedan alltid qvoten af tvänne konvergerande potensserier 

 kan uttryckas såsom en ny potensserie, hvilken endast innehåller 

 ett ändligt antal af negativa potenser och hvilken har ett änd- 

 ligt konvergensområde, så kan det sistanförda allmänna pro- 

 blemet äfven formuleras på följande sätt. 



Låt 



XX X 



12 v 



vara en oändlig serie af bestämda värden på variabeln x. Låt 

 oss om dessa värden antaga, att det inom livar je ändligt om- 

 råde för variabeln x endast finnes ett ändligt antal af de- 

 samma. Låt oss vidare tänka oss, att till hvarje värde x är 

 tillordnadt en serie af konstanter 



h h 



P, — r,, p,— 



Il h 11 



h 



cv-i) p, 



yO pl p2 





•0>-2) 



(10), 



livilka samtliga äro ändliga och förekomma till ändligt an- 

 tal, så snart blott x är belägen inom, ändligt område. Det 

 begäres att analytiskt framställa en emot punkterna x och kon- 

 stanterna h svarande funktion af rationel karakter , livilken 

 för omgifningen af livar och en af punkterna x låter utveckla 

 sig i en konvergerande potensserie af formen 



h 



p. 



— rp 



Xp) 



""■ + h 



P,- 



-(rp- 



(x- 



,^p) 



-0>-l) 





' 



















+ h 



P 



,-S^- 



Xp) 



+ 

 1 



h 



p,^ 



+ h 



P, 



,(— 



Xp) + h 



p 



{x 



2^ 



Xp) 



















4- 













+ 



h (x - 



P,Sp^ 



-a;p) 



+ 



(11). 



Uti tvänne uppsatser i Akademiens Öfversigt ^), ha vi med- 

 delat lösningen af det på detta sätt formulerade problemet. 



^) »En metod att analytiskt framställa en funktion af rationel karakter, hvilken 

 blir oändlig alltid och endast uti vissa föreskrif na oändlighetspunkter, hvilkas 

 ■ konstanter äro på förhand angifna». Öfversigt af KoDgl. Vet.-Akad:ns För- 

 handlingar 1876. N:o 6. 



"Ytterligare om den analytiska framställningen af funktioner utaf ra- 

 .tionel karakter». Öfversigt af Kongl. Vet.-Akad:ns Förhandlingar, 1877. N:o 1. 



