10 M.-LEFFLER, ANAL. FRÄMST. AP FUNKTIONER AF RAT. KARAKTER. 



Man kan neraligen framställa frågan: är det möjligt att åt 

 funktionsteorien för funktioner af flere oberoende variabler gifva 

 samma art af afslutning, som funktionsteorien för funktioner af 

 en oberoende variabel redan erhållit genom Herr Weierstrass 

 sista arbete? Det kan att börja med synas som borde denna 

 fråga icke kunna jakande besvaras. Den väsendtliga skilnaden 

 mellan funktioner af flere och af en oberoende variabel är nem- 

 ligen icke den större komplikation, som uppkommer genom det 

 samtidiga betraktandet af flere variabler, utan består deri, att 

 vid funktioner af flere variabler uppträda singulariteter af en 

 helt annan art än de, hvilka vid funktioner af en variabel kunna 

 förekomma. 



.En funktion F{xy . . . .) har i punkten a, h, .... har ak- 

 ter en af en ra tion el funktion, oin densamma kan uttryckas 

 under formen 



Fi:,y . . . ^y^ pi--«,!/-'',--- :) (14), 



q{a; — a, y — b, . . . .) 

 hvarest 



p(a; — a, y — h, ) = 



c + 



000 .. . 



c (x — a) 4- c (y — h)+ + 



100... ^ 010... '^ ^ 



2 .2 



C (x — a) +c (x — a)(y — 6) + c {y — b) +• • • • 



200...^ ' 110...^ ^^^ ' 020...*^ ^ 



ocli 



q(x — a, y — b, ) = 



k + 



000 .. . 



k {x — a) + k (y — b)+ + 



100...- 010...^*^ ^ 



2 2 



k (x — a)+k (x — a)(y — b) + k (y — b) + • • ■ • 



200...^ ^ 110...^ ^^*^ ^ 020... ^-^ ^ 



}(i5) 



äro potensserier, hvilka fortskrida efter hela och positiva poten- 

 ' ser af X — a, y — b . . . . och konvergera inom en ändlig om- 

 gifning af punkten a, b, Vid endast en oberoende va- 

 riabel kan nu alltid qvoten, 



