22 M.-LEFFLER, ANAL. FRÄMST. AF EN FUNKTION AF HEL KARAKTEK 



denna potensserie alla termer af lägre dimension än 7n + 1. 

 Detta är en omedelbar följd deraf, att samma förhållande in- 

 träffar för funktionen / (^y)- Man har således 



^J^,y) =7- ^(rsf'\.v — XrY- {y — ysf (12), 



om med 



Q + o=inpq + 1 



{rs) , (rs) , (?'s) 



mpq + 10 lUpq 1 mpq — 11 



förstås de successiva utvecklingskoefficienterna. Om åter % {a-if) 

 är utvecklad i en potensserie, hvilken fortskrider efter poteii- 

 serna af (x — x ) och {y — y ), sä skrifva vi 



^S'^y)-^(n)T'i'^-^''r,)\y-yd' (i3)- 



(' + (7 = 



Låt oss nu bilda serien 



2 % {^y) '. . . (14), 



2^1 pq '^ 



hvars termer må följa hvarandra i samma ordning, som punkt- 

 paren X y följa hvarandra. Låt oss att börja med antaga, att 

 serien (14) är en beständigt konvergerande serie. Vi vilja be- 

 visa, att under denna förutsättning konstanterna h kunna be- 

 stämmas på sådant sätt, att (14) för hvart och ett af de gifna 

 paren x y låter ombilda sig uti en potensserie utaf formen (2). 

 Talen fx antagas härvid vara fullkomligt godtyckliga. Vi vilja 

 härefter uppvisa, att, sedan konstanterna h blifvit bestämda på 

 det antydda sättet, det alltid är möjligt att välja talen (x så, 

 att (14) verkligen blifver en beständigt konvergerande seine. Här- 

 med är då också bevisadt, att (14) är en sådan funktion som 

 den sökta, eller att 



F{xy) = 2: % ' (^ty) (15). 



pq pq 



■ Om (14) är en beständigt konve^^gerande serie, kunna vi 

 medelst (12) och (13) ombilda densamma uti en potensserie, 

 hvilken fortskrider efter växande potenser af (.r —«'?'„) och {y — y ), 



