72 LINDMAN, OM EN SERIE. 



hvarest man har att bestämma koefficienterna Af. Om man 

 skrifver 



s n = 1 — 2".f + '6 n x- — 4",r 3 + 5'^ 4 — 6"a- 5 4- etc. 

 och multiplicerar med den utvecklade (1 + .?;)' ,+1 samt jemför 

 termer, som innehålla samma dignitet af x, så fås 



Af = i 



Af = 2» — (n + 1), 1" 



A f = 3" — (n + 1), 2" + (« + l) a 1» 



Af = 4» — (n + 1),3" + (n + 1) 2 2» — (n + 1) 8 1» 



o. s. v. 



samt i allmänhet 



v = p — i 



Af = g(- l)*(n + \) r (p - »•)'% (» > P > 1) ( 9 ) 



r = l 



hvilket vilkor innebär, att .4^ } är = för p < 1 och p > n. 



Vidare bör tillses, om och huru koefficienterna i en summa 

 bero af den summas, hvars index är en enhet lägre. Om (8) 

 differentieras, så fås 



v =n y= « 



g(- iy-i(v-\)Afx*-* ( w + i)g(_iy-i4»v-i 



ClS n v=l v— l 



~dx' = ~ (1 + x) n+1 ~(l+x) n+ * 



Om man här multiplicerar med x och adderar produkten till s n , 



så fås på grund af (7) 



v = n >'= n 



g (- \y-h-Afx*-* (n + 1) jg (- i)-m ( ;V 



_ v = l v = 1 



Då bråken göras liknämniga, befinnes 



v = n v = n 



g(- l)"-i,4 n V-^ - g(- \y-\n + 1 - v)Af* 



_ r=\ v=l 



S n + l — ^ + x yi + 2 



Om man i senare summan insätter j — Ii stället för v, fås 



