ÖFVERSIGT AF K. VETEXSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1888, N:0 2. 85 



de följande approximationerna erhåller man genom att integrera 

 differentialeqvationer af analog beskaffenhet. 



I förbigående tillåter jag mig den anmärkning, att likheten 

 (1) befinnes integrerad i min afhandling »Untersuchungen über 

 die Convergenz etc.» 1 ); visserligen äfven der medelst successiva 

 approximationer, men dock utan någon utveckling efter potenser 

 af T. Härvid befanns att resultatet konvergerar oberoende af 

 den art af irrationalitet, som karakteriserar talet a, och som 

 möjligen kan föranleda att T, bestämd genom integration af lik- 

 heten (3), blifver framstäld under formen af en divergent serie. 

 I denna händelse måste den approximationsmethod, som beror 

 pä utveckling efter potenserna af T, leda till illusoriska resultat, 

 såvida det ej skulle lyckas att ur de olika approximationsresul- 

 taten borttaga sådana termer, som föranleda divergens hos de 

 särskilda utvecklingarne, men hvilka i slutresultatet kompensera 

 hvarandra. I den citerade afhandlingen har jag sålunda visat, 

 att ett riktigt och ändligt värde för T alltid kan erhållas, men 

 jag är nu i tillfälle att konstatera, det någon divergens hos in- 

 tegrationsresultatet af likheten (3) öfverhufvud icke förekommer, 

 d. v. s., att sannolikheten för en här inträdande divergens är 

 mindre än hvilket gifvet tal som helst. För att påvisa detta 

 faktum erfordras i sjelfva verket efter våra föregående betrak- 

 telser endast några penndrag. 



Efter att hafva integrerat likheten (3) samt dervid bort- 

 lemnat icke allenast de af integrationskonstanterna beroende ter- 

 merna, utan äfven faktorerna , "\ „ , hvilka icke i någon vä- 



sentlig grad hafva inflytande på konvergensfrågans bedömande, 

 finna vi följande resultat: 



T= m'{s'lt s " sin (2?. v + 2 ./ ) + s'\^ sin (2Å x v + 2 7,) + . . .} 



eller, såsom vi äfven här kunna sätta, 



7 = ^{v° sin ( 2 V + 2 V) + *\** si n (' 2 h v + ' 2/ i) + ■■■} 



') Acta mathematica; 9: 3. 



