426 LINDMAN, OM NÅGRA DEFINITA INTEGRALER. 



Sedan vi nu sett, att formeln (7) gäller, då p är ett helt 

 tal eller 0, skola vi undersöka, huru det är, om p är ett 

 egentligt bråk. För den skull skola vi betrakta integralen 



i 



l a = Jir(l + cc — x)dx , 



o 



hvarest 1 > a > 0. Genom sönderdelning fås först 



i 



J a = jir(\ + a — x) dx + Jir(\ + a — as) da. 



O a 



Om man i den förra gör a — x=y, i den senare x — a = ?/, 

 så fås 



a 1 — a 



la =ftr(l + y)dy +fir(l -y)dy. (8) 



o o 



Gör man här a = — , så kunna integralerna förenas till en 

 och man finner 



Va 

 Iy 2 =fir(l + y)r(l-y)dy 



o 



eller, på grund af formeln 



ny 



Nu är 



r(l+y)r(l—y) = 

 v t}/ v a/ sin ny 



Va Va 



ii/ a = jlnydy — J£ sin ny dy . 



jlnydy = ^ln — 9 12 — ^ , 



o " . 



7T 

 1/2 1 ^ 



Jl sin 7r?/cfo/ = — \l sin stfe = — ^12 , 



alltså 



7 V 2 = firL — A** =2 ln ~2 

 o 



eller, om 1 — x införes i stället för x, 



