430 LINDMAN, OM NÅGRA DEFINITA INTEGRALER. 



Genom insättning öfvertygar man sig om att förestående 

 eqvation verkligen satisfieras af de uppgifna värdena, hvilket, 

 såsom lätt är att se, äfven är händelsen med a = 0,6; 0,7; 0,s; 

 0,9. Man kan deraf sluta, att form. (7) gäller för alla värden 

 på p, som ligga emellan O och 1, samt sedan för alla positiva 

 värden på p. 



III. J 3 - i - -*2 



sm 4 cp + a* cos* cp 



cix 



Om man här gör tg(p = x, så är dep = ^ r 2 och mot 



gränserna O och a svara och tg a; man får alltså 



tgu 

 f(l + X*)d* 



3 J a* + x* ' 



o 



Genom ett par formler hos Minding 1 ) finner man 

 C'dx 1 ,« 2 + aA'V / 2 + a 2 1 . ax\2 



l— 1= " + ^777^ Arct g —i *» 



4 + ** 4a 3 y'2 x 2 — ax\J2 + a 2 2a 3 V2 



xHx a 2 ,x 2 — a.tf2 + a 2 a 2 . ax]/ 2 

 —=l W - + ;= Arctg -u : 



J a 4 + x i 4 a 3|/ 2 \ v 2 + ax y2 + a 2 ' 2a 3 ^2 



hvilkas summa är 



f( 1 + x-)dx 1 — a V 2 + ax\''2 + a 2 1 + a 2 . a«]/'2 



^— - + = Arctg -H— 



J a 4 + ^ 4 4a 3 V x 2"^ 2 — a*V2 + a 2 ' 2a 3 V2 



Har man nu a > tga, så är 



dep _ 1 — a 2 ,tg 2 a + a\2 tg a + a- 



Jsm i (p + a 4 cos 4 cp 4a s \2 tg 2 a — a\2 tg a + , 



o 



1 + a 2 . aV2 tg a 



H = Arctg tV V- ; 



2a 3 |/2 & a— tg-a 



') Integral-Tafeln, Berlin 1849, sid. 43. 



