436 BERGER, DE BERN0ULL1SKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



Medelst dessa tal kunna nu de BERNOULLi'ska funktionerna 

 bildas med användning af eqv. (12); vi finna 



(23) q>(z, 0) = , cp(z, 1 ) = z , y(* 2) =t _ £ , y (~, 3) = | 3 



2 



2 ~4 ~3 -2 ~ö g4 



4 +j£. 9'( Ä ' 4 ) = i4~12 + i4 1 ^' 5)== l2Ö~l8 



3 Ä .6 ,5 .4 



72 720 TV ' ' 720 240 

 och i allmänhet 



k — m 



( 24) <?(*, m) = ^T f^~^ för m > 1. 



4 = 1 



Emedan det af den föregående undersökningen framgår, att 

 de BERNOULLi'ska funktionerna äro fullkomligt bestämda af eqv. 

 (17), (18), (19), (20), (21), så kunna vi uppställa följande 

 teorem. 



Teorem I. Om en oändlig grupp af funktioner af en va- 

 riabel z 



z (*,0), jr(*,l), jj(*i2), *(*,3) f ... 

 för alla värden på z satisfiera eqvationerna 



x"(ß, m + 1) = y'(z-> m ) för m > 0, 



z(* o) = o, 



X(0,m) = för «i>0, 



x(l,?w) = för m>2, 

 så är identiskt för m ~> 



y(z, m) = (p(z, m). 



§ 2. 



I eqv. (24) ha vi erhållit ett allmänt uttryck tor de BER- 

 NOULLi'ska funktionerna. Vi skola nu härleda uttryck för dessa 

 funktioners derivator. Om v är ett helt positivt tal, så erhälles 

 af eqv. (IT), om vi differentiera båda membra r — 1 gånger i 

 afseende på z, 





