ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1888, N:0 7. 437 



(25) (f( r+ V(z, m + 1 ) = y r (z, to) 



för r>l, m > 0. Om vi nu antaga, att k är ett helt tal, som 

 uppfyller vilkoret 



k < to, 

 så är följaktligen 



m — k + v > 0. 

 Vi kunna alltså i eqv. (25) ersätta to med to — k + r, och vi 

 tinna då 



(26) <f>( r+ V(z, m — k + r+Y) = qp r («, »i — Ä + r) 



för /'^>1, £ < to. Om vi antaga, att &^>2, samt införa i 

 eqv. (26) 



r = 1,2,3,...,/.-!, 



samt addera de sålunda erhållna likheterna, sä finna vi 



(27) q) k (z, m) — q>'(z, m — k + 1) 



för 2<k<m. Denna formel gäller tydligen äfven för k=l, 

 och om vi på densamma använda eqv. (5), så erhålles för 1<&<to 

 formeln 



(28) cp k {z, to) = <p(z, to — k) + B(m — k) . 



Vi förena nu eqv. (24) och (28) i följande teorem. 



Teorem II. För de BERNOULLl'ska funktionerna och deras 

 deri vätor gälla formlerna 



k = m 



< m n ( \ S} B{m — k)z* 

 <f(z, 0) = 0, cp(z, to) = / Å , 2 .3 .. TU 



&=i 



för to > 1 , samt 



cp k (z, to) = (p(z, m — k) + B(m — k) 



för 1 <^ k <! to . 



Om x och ?/ äro två qvantiteter hvilka som hälst, och m 

 ett helt positivt tal, så är enligt Taylors formel, alldenstund 

 (fi(z, to) är en hel rationel funktion af TO:te graden, 



k — m 



(29) cp{x + y, to) - cp(x, to) =^ ^3"°^ 





