438 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



och alltså enligt det föregående teoremet 



. \ ^ m(x, m — k) + B(m — k) 

 (30) yO + y, m) - cp(x, m) = ^ 1 . 2 ■ 3 • • • £ V 



k = \ 

 k — m 



z 



cp(x, m — k)y k \ ' B(m — k)y k 

 1 • 2-3--T + / yl • 2 • 3 • .Tfr 



* = 1 



och således enligt samma teorem 



k=m 



ZC£)( X 1YI k)V 

 l .2.3-.. X' 



Emedan venstra membrum i denna likhet är en symetrisk funk- 

 tion af x och y, så blifver högra membrum oförändradt, om vi 

 permutera x och y, och vi erhålla alltså formeln 



k = m k = m 



/"*<n V^ cp(x, m — k )y k _ V^ y(y, ?» — fc )s* 



{ } / .y 1-2-3- --Ä; "//1.2.3-i ' 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem III. Om ??? är ett helt positivt tal, och om x, y 

 äro två qvantiteter hvilka som hälst, så är 



tc = m 



\ ' (f(x, rn — k)y k 

 q(x + y, m ) — cp(x, ?n) — cp(y, m) = / ; i , 2 , 3 . . . J 



*=i 



och 



Zcp(x, m — k)y k \ ^ <p(?/, m — &).zH 

 1 ■ 2 • 3 • • X = / > 1 • 2 • 3 ■ • -T 



yfc=l * = 1 



Om vi i den sista af dessa formler sätta 

 (33) « = *, y = l, 



så erhålles 



i = m k = m 



— *)£* 



T' 





^' / .1 • 2 • 3 • • • k / j 12-3- 



och om vi antaga, att ?»>2, samt använda eqv. (20), (21) på 

 högra membrum af eqv. (34), så erhålles 



