440 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



~m — 1 



(37) cp(z + 1, m) — cp(z, m) = i . 2 . 3 . . . ( m _ ]) ■ 



Vi skola nu använda teorem I till härledning af en egen- 

 skap hos de BERNOULLi'ska funktionerna. Om vi definiera en 

 funktionsgrupp 



X (z,0), Z (*,.l), x(z,2),... 

 medelst likheterna 



(38) X (z, 0) = 0, xO, l) = z, y(z, m) = (— 1)^(1 - z, m) 



för m^>2, så erhålles genom differentiation i afseende på z 



(39) % '(z, 0) = 0, i{z, 1) = 1, X '(z, m) = (- I)— hp '(1 - 0, m) 

 för m^>2, hvilka tre formler kunna förenas i en enda 



(40) yj(z, m) = (— i)*-V<J — *> "0, 



hvilken gäller för m |> . Om vi differentiera ännu en gång, så 

 erhålla vi häraf för m > 



(41) x"(z, m) = (— l)»y '( 1 — z, m) , 

 och således, om vi införa m + 1 i stället för m , 



(42) x"0> m + 1) = (— l) m ~ l (f"(l —z,m+l), 



hvilken formel gäller för m>0. Af eqv. (40), (42), (17) följer 

 för m ^> 



(43) X "(z,m+l) = xXz,m). 



Af eqv. (38) erhålles vidare, om vi använda eqv. (21) och (19), 



(44) x (z, 0) = 0, 



(45) z (0, m)= för m>0, 



(46) x(M)=l, 



(47) 7 (l,m)= för m^2. 



Om vi använda teorem I på eqv. (43), (44), (45), (46) och 

 (47), så erhålles för m > 



(48) x{z, m) = (f(z, m), 

 och alltså är enligt eqv. (38) och (48) 



(49) cp(l — z, m) = (— l) m q>(z, m) 



för m>2. Vi sammanföra nu formlerna (37) och (49) i föl- 

 jande teorem. 



