442 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



Z m ' — * 



(54) <f>(z, m) — (— l) m (f(— «, m) = — x . 2 . 3 . . . ( m _ i) ' 



Sätta vi denna likhet under formen 



1 2"'- 1 



(55) cp{z, m) + 



2 1 • 2 • 3 ...(/» — 1) 



1 (-z)> 



(- i) TO j<K 



— 2; m) + 



2 1 . 2-3.-.(m— 1)J ' 

 så framgår ur densamma följande teorem. 



Te or em VII. Om m är ett helt tal, som uppfyller vilkoret 



så är uttrycket 



1 „m - 1 



qp(z, W) + - 



2 1.-2-3.-. (m — 1) 



en jämn eller en udda funktion af z, allteftersom m är ett jämt 

 eller ett udda tal. 



Om vi antaga, att 



m > 3, 

 så är enligt eqv. (24) och (22) 



k = m — 2 



,_„. , s 1 z™- 1 z m \^B(m — k)z k 



(5b) <p{z, ra) + - 1 . 2 . 3 ... (m _ T) - 1 . 2 . 3 ... m + ^^.p 



* = 1 

 och af det föregående teoremet erhålla vi följande korollarium. 

 Korollarium. Om n är ett helt positivt tal, så är 



(57) B(2n + \) = Q. 



Denna formel kan äfven härledas ur eqv. (49) och (5) på 

 följande sätt. Om vi i eqv. (49) införa m + 1 i stället för m , 

 så erhålles för m > 1 



(58) cf(l —z,?n + l) = (— l)™+i(j>(z, m + 1), 

 och häraf erhålles genom differentiation 



(59) <y/(l — z, m + 1) = (— \) m cp'(z, m + 1) 

 och alltså enligt eqv. (5) 



(60) cp(l — z, m) + B(m) = (— l) m (p(z, m) + (— l) m B(m) 

 och således enligt eqv. (49) för m ^ 2 



