446 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



Differentiera vi båda niembra af eqv. (82) i afseende på s y 

 samt iakttaga formeln (84), så finna vi efter förkortning med v 



(85) ^ = *"(*, 2) + f(z, 3> + f(z, 4K- + . . . , 



och af eqv. (81), (82), (84), (85) erhälles för m>0 formeln 



(86) X "(z,m+l) = X '(z,m). 



För z = erhålles af eqv. (79) 



(87) = Z (0, 0) + z (0, l)t, + z (0, 2)»» + . . . , 

 och alltså är för m > 



(88) x (0,ro) = 0. 

 För z = 1 erhålles af eqv. (79) 



(89) o = z (l, 0) + X (l, 1> + x(l, 2> 2 + . . . , 



och följaktligen erhålles, om vi jämföra termerna i båda membra, 



(90) X(U) = 1, 

 samt för m ^> 2 



(91) Z (l,m) = 0. 



Om vi använda teorem 1 på eqv. (86), (80), (88), (90), (91), 

 så finna vi för m |> 



(92) X(~' w») = cp(z,m), 



och af eqv. (79) erhålles alltså serieutvecklingen 



(93) v^E\ = <?& °) + ?<*' l > + <^ 2 ) 1 ' 2 + • • • ' 



hvilken gäller för hvarje värde på z och för Jyj < 2tt. Efter 

 förkortning med v kan denna likhet sättas under formen 



(94) £^=^(2,^-1, 



k = l 



och genom differentiation i afseende på z erhålles häraf 





j- = co 



och alltså, om vi vid summationen i högra membrum ersätta k 

 med k + 1 , 



