ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1888, N:0 7. 447 



(96) -^n=Yj'^ k + l)vk - 



*=o 



Om vi på högra membrum af denna likhet använda eqv. (5), så 

 finna vi 



k = 00 



(97) -^ =^{qp(*, k) + B{k))v« , 



och om vi här sätta z = O, så erhålles serieutvecklingen 



( 98 ) ^1 = B (°) + Z? ( 1 ) y + 5 ( 2 > 2 + • • • ' 

 hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem IX. Om 2 är en qvantitet hvilken som hälst, och 

 v en qvantitet, som uppfyller vilkoret 



\v\<2n, 

 så är 



ßZV j 



v^rzii = cp ^ 0) + *& 1)l ' + ^' 2)y2 + • • ' 



och 



^-^ = B(O) + B{\)v + B@)v* + . . . 



Om vi i de nu bevisade formlerna sätta 



så finna vi, att summan af samtliga BERNOULLi'ska funktionerna 



cp{z,0), cp(z,l), q(z,2),... 

 är lika med 



e z — 1 



för hvarje värde på z, samt att summan af samtliga BERNOUL- 

 Li'ska talen 



B(0), B(\), B(2),... 

 är lika med 



1 

 e-^ 1" 



