448 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



§ 6. 



Vi öfvergå nu till de BERNOULLi'ska funktionernas utveck- 

 ling i periodiska serier samt använda härför de kända formlerna 



k =00 



« a7r(2z_1) + e -a7r(2 ' -1) _ 1 2« V^ cos 2knz 



k=\ 



hvilken gäller för < z < 1 , samt 



e an(2z-l) _ e -an(2z-l) ^ 2 V^ k sin 2knZ 



( ' e aTC_ e -an ~~n/j a 2 + k 2 ' 



A- = l 



hvilken gäller för < z < 1 , och i hvilka formler a betecknar 

 en från noll skild reel qvantitet hvilken som hälst. Vi skola 

 här äfven begagna oss af en funktion j.t(z, ra), hvilken vi för 

 alla reela värden på z och för alla hela positiva värden på ra 

 definiera medelst likheterna 



(101) f i(z,m) = för ra>2, 

 samt 



(102) p(z, 1) = h, om z är ett helt jämt tal, 



(103) ,/,(z, l) = 0, om z ej är ett helt tal, 



(104) f.t(z, 1) — — h, om z är ett helt udda tal. 



Med tillhjälp af denna funktion kan eqv. (100) sättas under 

 formen 



e anOz-iy — g-«OT(2*-i) 2 V^ k sin 2knz 



(105) —— = — 2fi(z, 1) > — 5— tö- ' 



- ; e aTT ■ — e~ an n / j a 2 + k 1 



och denna eqvation gäller tydligen för O < z ^ 1 . Om vi addera 

 eqv. (99) och (105) samt sätta 



v 



så erhålles för < z < 1 formeln 



4Jciv sin 2kiz — 2v- cos 2knz 



vf zv \ 1 i 



«'»« + V 2 



